Sai lầm thường gặp từ phép toán quy nạp không hoàn toàn

Đề bài:

Viết các số thiên nhiên có tổng các chữ số bằng 9 theo trật tự tăng dần ta được dãy số:

9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 108; 117; 126…

Hỏi số thiên nhiên trong dãy số trên có số trật tự 2017 là số nào?

sai-lam-thuong-gap-tu-phep-toan-quy-nap-khong-hoan-toan

Ảnh minh họa: NEA Today

Một bài tập của học trò lớp 5, thành viên đội tuyển Olympic Toán và Khoa học quốc tế IMSO 2017 (lứa tuổi 11-12) làm rất nhiều game thủ đọc mắc sai trái, và phần lớn đều bắt nguồn từ việc quy nạp không hoàn toàn.

Sai lầm thường gặp gỡ của game thủ đọc

Khi quan sát dãy số trên, game thủ đọc phát hiện ra ngay quy luật giá trị của mỗi số đều bằng 9 nhân với số trật tự của nó, chả hạn 9 x 1 = 9 ; 9 x 2 = 18 ; 9 x 3 = 27; 9 x 4 = 36; 9 x 5 = 45… Để rồi từ đó suy ra số thứ 2017 là 9 x 2017 = 18153.

Nhiều game thủ đọc đã bỏ quên kỹ năng đọc kỹ đề bài, giải xong phải đánh giá thử lại. Hơn 300 game thủ đọc đưa ra đáp số 18153 mà quên không đánh giá tổng các chữ số của nó là 1 + 8 + 1 + 5 + 3 có bằng 9 hay không.

Nếu game thủ đọc kỹ đề bài thì mới có tinh thần thử lại và khi thử lại kiên cố sẽ phát hiện đáp số 18153 có vấn đề mâu thuẫn với đề nghị bài toán. Khi đó game thủ sẽ có tinh thần đánh giá các số có trong đề bài để phát hiện ra chỉ có đúng 10 số trước tiên tuân theo quy luật là giá trị của mỗi số đều bằng 9 nhân với số trật tự của nó. Quy luật này khởi đầu sai từ số thứ 11 của dãy, chả hạn số thứ 11 là 108 và 9 x 11 = 99; số thứ 12 là 117 và 9 x 12 = 108; số thứ 13 là 126 và 9 x 13 = 117.

Sai lầm nảy sinh từ việc phát hiện sai trái

Một số game thủ tránh được sai trái trên khi đánh giá phép nhân 9 cho các số hạng thứ 11; 12; 13 thì mắc phải sai trái nảy sinh khi phát hiện quy luật chợt tới trong các phép nhân vừa đánh giá 108 = 9 x 12 = 9 x (11 + 1); 117 = 9 x 13 = 9 x (12 + 1); 126 = 9 x 14 = 9 x (13 + 1).

Có thể các game thủ đã nhẫn nại thử tiếp các số hạng thứ 14; 15; 16 của dãy để đánh giá quy luật 135 = 9 x 15 = 9 x (14 + 1); 144 = 9 x 16 = 9 x (15 + 1); 153 = 9 x 17 = 9 x (16 + 1)… Từ đó các game thủ thấy quy luật nảy sinh chợt tới là từ số thứ 11 trở đi giá trị của mỗi số đều bằng 9 nhân với tổng giữa số trật tự của nó với 1. Từ quy luật chợt tới này các game thủ diễn dịch số thứ 2017 của dãy là 9 x (2017 + 1) = 9 x 2018 = 18162

Điều hí hước là các game thủ phát hiện 18153 là đáp số sai vì 1 + 8 + 1 + 5 + 3 khác 9, nhưng lại quên không đánh giá để thấy 18162 cũng có tổng các chữ số khác 9.

Quy nạp không hoàn toàn

Phép suy luận từ những quy luật tầm thường của một nhóm để tổng thể quy luật tầm thường cho tất cả đối tượng gọi là phép quy nạp không hoàn toàn. Quy nạp không hoàn toàn có thể đúng, có thể sai và trong khuôn khổ bài viết này ngoài việc phân tách sai trái của game thủ đọc chúng tôi sẽ trích dẫn thêm một số ví dụ sai trái khi dùng quy nạp không hoàn toàn.

1. Số Fermat

Khi thử với n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức nhận được các số nguyên tố:

sai-lam-thuong-gap-tu-phep-toan-quy-nap-khong-hoan-toan-1

Từ đó nhà toán học Pháp Pierre de Fermat cho rằng luôn là số nguyên tố với mọi n là số thiên nhiên. Tuy nhiên nhà toán học Euler đã chỉ ra thuộc tính này sai với n = 5; 6:

sai-lam-thuong-gap-tu-phep-toan-quy-nap-khong-hoan-toan-2

2. Số không chính phương

Mệnh đề: Số P = 991 + 1 không là số chính phương với mọi n nguyên dương.

Bình luận: Có nhiều dấu hiệu nhận diện một số không chính phương như một chữ số cùng tận, hai chữ số cùng tận, dấu hiệu chia hết, dấu hiệu đồng dư…

Với sự trợ giúp của các dấu hiệu nhận diện trên và máy tính ta có thể đánh giá với n bằng 1; 2; 3; 4; 5;…1000 thì các số P = 991 + 1 đều không là số chính phương.

Từ đó kết luận số P = 991 + 1 không là số chính phương với mọi n nguyên dương.

Tuy nhiên ta có thể xác định với số n thiên nhiên nhỏ nhất là 12055735790331359447442538767 thì P = 991 + 1 là số chính phương. Như vậy mệnh đề trên là sai và việc phát hiện ra sai trái là rất khó so với việc phát hiện các số Fermat không nguyên tố.

Kết luận

Sai lầm của game thủ đọc khi giải bài toán lớp 5 ở trên đều bắt nguồn từ việc không đọc kỹ đề bài và sau đó không đánh giá lại kết quả. Nếu dãy có nhỏ hơn 11 số lộ thiên thì sai trái lấy 9 nhân với số trật tự chỉ là nhanh nhẹn. Nhưng với 13 số lộ thiên 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 108; 117; 126… mà các game thủ vẫn mắc sai trái chồng sai trái thì thật là đáng buồn.

Bài toán lớp 5 này là bài mở, thử thách mọi game thủ đọc đi tìm một lời giải hay nhất thích hợp với học trò giỏi khối lớp 5-6 dự thi Toán quốc tế.